Упростить (1-cos2a) / (1+tg²a)

Нам понадобятся следующие тригонометрические формулы:

1) Основное тригонометрическое свойство:

1 + tg² a = 1/cos² a.

2) Формулы двойного угла:

cos 2a = 1 - 2sin² a.

sin 2a = 2sin a * cos a.

Преобразуем числитель дроби из условия в соответствии со второй формулой:

1 - cos 2a =

= 1 - (1 - 2sin² a) =

= 2sin² a.

Теперь преобразуем знаменатель дроби:

1 / (1 + tg² a) =

= 1 / (1/cos² a) =

= cos² a.

Таким образом получаем:

(1 - cos 2a) / (1 + tg² a) =

= 2sin² a * cos² a =

= (2sin a * cos a) * (2sin² a * cos² a) / 2 =

= sin 2a * (sin 2a) / 2

= (sin² 2a) / 2.

Ответ: (sin² 2a) / 2.