Диагонали выпуклого четырехугольника равны m и n. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны друг другу. Докажите, что его площадь равна 0,5mn.

Площадь выпуклого четырехугольника равна S = ½ * m * n * sinβ.

Найдем угол β между диагоналями четырехугольника.

Обозначим выпуклый четырехугольник ABCD, а середины сторон AB, BC, CD, AD буквами K, L, M, N.

Причем по условию KM = NL.

Тогда, KLMN является прямоугольником, так как его диагонали KM и NL равны.

Стороны KL и MN, NK и ML прямоугольника KLMN являются средними линиями треугольников АВС и ADC, DAB и DCB соответственно, а значит, параллельны диагоналям AB и BD.

Следовательно, диагонали четырехугольника перпендикулярны между собой и угол β = 90º.

Тогда, S = ½ * m * n * sin90 = 0,5 * m * n.