Найдите первый член геометрической прогрессии, у которой сумма первого и четвертого членов равна 18, а сумма второго и третьего членов равна 12.

1. Для геометрической прогрессии B (n) справедливы два уравнения:B1 + B4 = 18;

B2 + B3 = 12;

2. Выразим оба уравнения через первый член прогрессии B1 и ее знаменатель q, используя формулу определения любого члена:

Bn = B1 * q^ (n - 1);

B1 + B4 = B1 + B1 * q^ (4 - 1) = B1 * (1 + q³) = 18;

B2 + B3 = B1 * q + B1 * q² = B1 * q * (1 + q) = 12;

3. Разделим второе уравнения на первое:

(B2 + B3) / (B1 + B4) = (B1 * q * (1 + q)) / (B1 * (1 + q³)) =

(q * (1 + q)) / ((1 + q) * (1 - q + q²)) = q / (1 - q + q²) = 12 / 18 = 2/3;

3 * q = 2 * (1 - q + q²);

2 * q² - 5 * q + 2 = 0;

q1,2 = (5 + - sqrt (5² - 4 * 2 * 2) / (2 * 2) = (5 + - 3) / 4;

4. Для q1 = (5 - 3) / 4 = 0,5;

B1 * q * (1 + q) = 12;

B1 = 12 / q * (1 + q) = 12 / 0,5 * (1 + 0,5) = 12 / 0,75 = 16;

5. Для q2 = (5 + 3) / 4 = 2;

B1 = 12 / 2 * (1 + 2) = 2.

Ответ: 1) q = 0,5 B1 = 16, 2) q = 2 B1 = 2.