Две группы туристов вышли с турбазы по направлениям, которые образуют прямой угол. Первая группа шла со скоростью 4 км/ч, а вторая со скоростью 5 км/ч. Группы поддерживали связь по радио, причем переговариваться можно было на расстоянии не более чем 13 км. Какое время после выхода второй группы могли поддерживать между собой связь туристы, если известно, что вторая группа вышла на маршрут через 2 ч после первой?

Пусть t - время, в течение которого поддерживается связь.

Найдём расстояние, которое первая группа прошла за 2 часа.

4 · 2 = 8 км.

За время t туристы удалятся от турбазы на следующие расстояния:

8 + 4t - первая группа.

5t - вторая группа.

Расстояние между группами можно определить по теореме Пифагора, оно должно быть не больше 13 км:

(8 + 4t) ^2 + 25t^2 ≤ 13^2.

64 + 64t + 16t^2 + 25t^2 ≤ 169.

41t^2 + 64t + 64 ≤ 169.

41t^2 + 64t - 105 ≤ 0.

D = 21316.

t1 = (-64 + 146) / 82 = 1

t2 = (-64 - 146) / 82 = - 210/82.

Значит, чтобы квадратное уравнение принимало значения ≤ 0, необходимо, чтобы t находилось в интервале - 210/82 ≤ t ≤ 1 (ветви параболы направлены вверх). Условию задачи соответствует t ≤ 1. То есть, на связи группы могут находиться не более 1 часа.

Ответ: Не больше, чем 1 ч.