Докажите, что многочлен х^2 - 2 х + у^2 - 4 у + 6 при любых значениях, входящих в него переменных принимает положительные значения.

Проанализируем заданное выражение, несколько преобразовав его:

(1) х^2 - 2 х + у^2 - 4 у + 6 = [ (х^2 - 2 * х * 1 + 1^2) + (у^2 - 2 * (2) * (у) + 2^2) ] + (6 - 1^2 - 2^2) = (х - 1) ^2 + (у - 2) ^2 + (6 - 1 - 4) = (х - 1) ^2 + (у - 2) ^2 + 1.

Судя по тому, что выражение представляет собой сумму квадратов двух выражений, и положительного числа + 1, и в сумме 3 положительные числа дают тоже положительное число. Значит, при любых значениях х и у, выражение (1) принимает только положительные значения. Доказано.