Найдите точку минимума функции y=x^3-9x^2+13

y = x^3 - 9x^2 + 13 - найдем производную;

y' = (x^3 - 9x^2 + 13) ' = 3x^2 - 18x - найдем нули производной;

3x^2 - 18x = 0;

3x (x - 6) = 0;

x1 = 0; x2 = 6.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разделят ее на три промежутка: 1) ( - ∞; 0), 2) (0; 6), 3) (6; + ∞). Найдем знак производной на каждом промежутке. Производная положительна на 1 и 3 интервалах и отрицательна на 2 интервале.

Если производная на интервале положительна, то функция на этом интервале возрастает. А если производная на интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает. Значит наша функция y = x^3 - 9x^2 + 13 возрастает на 1 и 3 интервалах и убывает на 2 промежутке.

Если функция в точке меняет возрастание на убывание, то эта точка является точкой максимума. А если функция в точке меняет убывание га возрастание, то эта точка будет точкой минимума.

В точке х = 6 функция меняет убывание на возрастание, значит эта точка является точкой минимума.

y (6) = 6^3 - 9 * 6^2 + 13 = 216 - 324 + 13 = - 95. Точка (6; - 95) - точка минимума.

Ответ. (6; - 95).