Найдите наименьшее значение функции y = (3x^2-36x+36) e^ (x-10) на отрезке [8; 11]

Найдем производную функции:

y = (3x² - 36x + 36) e^{x - 10}.

y' = (3x² - 36x + 36) ' * e^{x - 10} + (3x² - 36x + 36) (e^{x - 10}) ' = (6x - 36) * e^{x - 10} + (3x² - 36x + 36) (e^{x - 10}) * (x - 10) ' = (6x - 36) e^{x - 10} + (3x² - 36x + 36) e^{x - 10}.

Найдем нули производной:

(6x - 36) e^{x - 10} + (3x² - 36x + 36) e^{x - 10} = 0.

(6x - 36 + 3x² - 36x + 36) e^{x - 10} = 0.

(3x² - 30x) e^{x - 10} = 0.

Отсюда 3x² - 30x = 0 (e^{x - 10} не может равняться нулю).

3 х (х - 10) = 0.

х = 0 и х = 10.

Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; 0) плюс, функция возрастает.

(0; 10) минус, функция убывает.

(19; + ∞) плюс, функция возрастает.

Значит, х = 0 - это точка максимума, а х = 10 - это точка минимума функции.

На промежуток [8; 11] попадает х = 10, точка минимума.

Вычислим значение функции в этой точке:

у (10) = (3 * 10² - 36 * 10 + 36) e^{10 - 10} = (300 - 360 + 36) e⁰ = - 24 * 1 = - 24.

Ответ: наименьшее значение функции на промежутке [8; 11] равно - 24.