а) В треугольнике с вершинами А (1; 2) В (-2; -1) С (7; -7) Найти длину высоты BD б) Написать уравнения пучка прямых, проходящих через точку (3; 0) и составляющих с прямой 2 х-у+6=0 угол, равный 45°

Задача а).

1. Определим длины сторон треугольника, воспользовавшись выражением:

АВ = √ ((Xа-Xb) ² + (Ya-Yb) ²).

В нашем случае, имеем:

АВ = √ ((1 - (-2)) ² + (2 - (-1)) ²) = √ (9+9) = √18 = √ (2*9) = 3√2;

АС = √ ((1-7) ² + (2 - (-7)) ²) = √ (36+81) = √117 = √ (9*13) = 3√13;

ВС = √ ((-2-7) ² + (-1 - (-7)) ²) = √ (81+36) = √117 = √ (9*13) = 3√13.

2. Определим площадь треугольника, воспользовавшись формулой Герона:

S = (1/4) * √ ((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)).

Вычислим:

S = (1/4) * √ ((3√2+3√13+3√13) * (3√13+3√13-3√2) * (3√2+3√13-3√13) * (3√2+3√13-3√13)).

Упростим, сложив подобное:

S = (1/4) * √ ((3√2+6√13) * (6√13-3√2) * (3√2) * (3√2)).

Перемножим:

S = (1/4) * √ ((3√2*6√13 - 3√2*3√2 + 6√13*6√13 - 3√2*6√13) * (3√2*3√2)) = (1/4) * √ ((3√2*6√13 - 18 + 468 - 3√2*6√13*) * 18 = (1/4) * √ (450*18) = (1/4) * √8100 = (1/4) * 90 = 22,5.

3. Формула для определения площади через длину стороны и высоту, проведенную к ней:

S = (1/2) * a*h, в нашем случае:

S = (1/2) * АС*BD, вынесем из этого выражения BD:

BD = 2*S / AC, подставим числа, получим:

BD = 2*S / AC = 2*22,5 / 3√13 = 15 / √13.

Ответ: 15 / √13 или 4,16.

Задача б).

Прямая 2 х-у+6=0 приведем к виду уравнения с угловым коэффициентом k, у = kx+b:

y = 2x = 6.

Значит угловой коэффициент данной прямой k = 2.

Геометрический смысл углового коэффициента:

k = tg α.

α - угол наклона прямой у = kx + b, c положительным направлением оси Ох.

При пересечении двух прямых:

у = k1x + b1 и у = k2x + b2, имеем:

k1 = tg α1;

k2 = tg α2.

А угол между прямыми:

α = α1 - α2.

Соответственно:

tg α = tg (α1 - α2).

По формуле тангенса:

tg (α1 - α2) = (tg α1 - tg α2) / (1 + tg α1·tg α2).

tg α = tg 45 ° = 1.

1 = (2-k2) / (1 + 2·k2).

k2 = 1/3.

Прямая у = 1/3 х + b проходит через точку (3; 0):

0 = 1/3·3 + b.

b = - 1.

у = 1/3 х - 1.

Вторая прямая:

Если угол между прямыми:

α = α2-α1.

Соответственно:

tg α = tg (α2 - α1).

По формуле тангенса:

tg (α2 - α1) = (tg α2 - tg α1) / (1 + tg α2·tg α1).

tg α = tg 45 ° = 1.

1 = (k2-2) / (1 + 2·k2).

k2 = - 3.

Прямая у = - 3 х + b проходит через точку (3; 0):

0 = - 3·3 + b

b = 9, второе уравнение у = - 3 х + 9.

Ответ: у = 1/3 х - 1, у = - 3 х + 9.