Х^4+3 х^3-х^2-9 х-18=0. Найти корни. Подробное решение.

Дано уравнение:

x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 9 x - 18 = 0

преобразуем:

Вынесем общий множитель за скобки

(x - 2) (x + 3) (x^{2} + 2 x + 3) = 0

Т. к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.

Получим ур-ния

x - 2 = 0

x + 3 = 0

x^{2} + 2 x + 3 = 0

решаем получившиеся ур-ния:

1. x - 2 = 0

Переносим свободные слагаемые (без x) из левой части в правую, получим:

x = 2

Получим ответ: x1 = 2

2. x + 3 = 0

Переносим свободные слагаемые (без x) из левой части в правую, получим:

x = - 3

Получим ответ: x2 = - 3

3. x^{2} + 2 x + 3 = 0

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.

D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т. к.

a = 1

b = 2

c = 3

, то

D = b^2 - 4 * a * c = (2) ^2 - 4 * (1) * (3) = - 8

Т. к. D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней, но комплексные корни имеются.

x3 = (-b + sqrt (D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt (D)) / (2*a)

или

x_{3} = - 1 + sqrt{2} i

x_{4} = - 1 - sqrt{2} i

Тогда, окончательный ответ:

x_{1} = 2

x_{2} = - 3

x_{3} = - 1 + sqrt{2} i

x_{4} = - 1 - sqrt{2} i