Производная sin^2 (2x)

Определим производную данной функции, которую обозначим через у = sin² (2 * x). Анализ данной функции показывает, что она является сложной функцией в составе которой присутствуют степенная функция и синус функция. Кроме того аргумент синус функции представлен в виде произведения переменной и постоянной величин. Для того, чтобы найти производную функции y = sin² (2 * x) воспользуемся следующими свойствами производных: (С * u) ꞌ = С * uꞌ, где С - постоянная. Кроме того, применим табличную информацию: (sinu) ꞌ = cosu * uꞌ и (uⁿ) ꞌ = n * uⁿ ^{- 1} * uꞌ, где n - постоянная. Имеем yꞌ = (sin² (2 * x)) ꞌ = 2 * sin^{2 - 1} (2 * x) (sin (2 * x)) ꞌ = 2 * sin (2 * x) * cos (2 * x) * (2 * x) ꞌ = 2 * sin (2 * x) * cos (2 * x) * 2 * xꞌ = 2 * 2 * sin (2 * x) * cos (2 * x). Воспользуемся формулой sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла). Тогда, yꞌ = 2 * sin (4 * x). В качестве замечания отметим, что можно было перед тем вычислить производную, воспользоваться формулой 2 * sin²α = 1 - cos (2 * α), а затем применяя производной косинуса, определить производную полученной функции. При этом, результат не изменится.

Ответ: (sin² (2 * x)) ꞌ = 2 * sin (4 * x).