Верно ли, что из 100 любых натуральных чисел можно выбрать 15 таких, у которых разность любых двух делится на 7?

1. При делении натурального числа на 7 возможны 7 остатков: от 0 до 6. Среди 100 натуральных чисел найдутся 15 таких, которые имеют один и тот же остаток. Докажем это.

2. Предположим, что утверждение ложно, и для каждого из 7 остатков не больше 14 чисел. Поскольку остатков всего 7, то наибольшее количество чисел в этом случае будет 7 * 14 = 98 < 100, а у нас их 100. Значит, наше предположение ложно.

3. Тогда разность любых двух из этих 15 чисел с равными остатками будет кратна 7, что и требовалось доказать.