Тригонометрическое уравнение 2cos2x+sqrt2sinx+1 Все решения на 3pi/2; 3pi

2cos2x + √2sinx + 1 = 0.

Представим cos2x по формуле косинуса двойного угла: cos2x = 1 - 2sin²x.

2 (1 - 2sin²x) + √2sinx + 1 = 0.

2 - 4sin²x + √2sinx + 1 = 0.

-4sin²x + √2sinx + 3 = 0.

Умножим на (-1):

4sin²x - √2sinx - 3 = 0.

Введем новую переменную, пусть sinx = а.

4 а² - √2 а - 3 = 0.

D = (-√2) ² - 4 * 4 * (-3) = 2 + 48 = 50 (√D = √50 = √ (25 * 2) = 5√2);

а₁ = (√2 - 5√2) / (2 * 4) = (-4√2) / 8 = - √2/2.

а₂ = (√2 + 5√2) / 8 = 6√2/8 = 3√2/4 (3 * 1,4 : 4 ~ 1,1).

Вернемся к замене sinx = а.

а = 3√2/4; sinx = 3√2/4 (синус не может быть больше 1).

а = - √2/2; sinx = - √2/2; х = - п/4 + 2 пn, n - целое число.

И х = - 3 п/4 + 2 пn, n - целое число.

При помощи единичной окружности или числовой прямой найдем корни, принадлежащие промежутку [3 п/2; 3 п], это х = 7 п/4.