Докажите, что значение выражения x^2+2y^2+2xy+6y+10 положительно при любых значениях переменных x и y.

Дано: х² + 2 * у² + 2 * х * у + 6 * у + 10.

Представим второе слагаемое в следующем виде: 2 * у² = у² + у², получаем выражение:

х² + у² + у² + 2 * х * у + 6 * у + 10.

Выделим первое, второе и четвертое слагаемое и получим:

х² + у² + 2 * х * у = (х + у) ².

Наше выражение принимает вид:

(х + у) ² + у² + 6 * у + 10.

Так как 6 * у = 2 * 3 * у и 10 = 9 + 1, то получаем:

(х + у) ² + у² + 2 * 3 * у + 9 + 1 = (х + у) ² + (у + 3) ² + 1.

Таким образом, наше выражение представляет собой сумму трёх слагаемых, два из которых являются квадратами каких-то чисел, и единицы. То есть все три слагаемые положительны, и их сумма будет положительна при любых х и у.