Сумма двух целых чисел равна S. Маша умножила левое число на целое число α, правое - на целое число β, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на S. Алеша, наоборот, левое число умножил на β, а правое - на α. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на S.

Даны два числа A и B; A + B = S;

Маша получила число A * α + B * β, кратное S;

Алеша получил число A * β + B * α;

Сложим полученные Машей и Алешей числа A * α + B * β + A * β + B * α = A * (α + β) + B * (α + β) = (α + β) * (A + B) = (α + β) * S;

Так как сумма чисел кратна S и одно из слагаемых кратно S, то и второе слагаемое должно быть кратно S.