В турнире принимают участие 16 шахматистов, разбитых наудачу на две группы по 8 человек. Среди участников турнира имеется 4 гроссмейстера. Найти вероятность того, что один гроссмейстер попадет в одну группу, а остальные трое - в другую.

Допустим, мы набираем шахматистов в первую группу. Нас интересует вероятность того, что в данной группе окажется либо 1 гроссмейстер, либо 3 гроссмейстера.

Посмотрим, сколькими способами можно набрать шахматистов в первую группу.

С⁸₁₆ = 16! / (8! * 8!) = 12870 (способов).

Итак, количество элементарных исходов равно 12870.

Допустим, в первой группе будет 1 гроссмейстер и 7 шахматистов, не являющихся гроссмейстерами. Посмотрим, сколькими способами можно сформировать такую группу.

Из 4 гроссмейстеров выбираем одного:

C¹₄ = 4 (способа).

Из 12 шахматистов, не являющихся гроссмейстерами, выбираем семерых:

C⁷₁₂ = 12! / (7! * 5!) = 792 (способа).

Считаем количество способов:

C¹₄ * C⁷₁₂ = 4 * 792 = 3168 (способов).

Допустим, в первой группе будет 3 гроссмейстера и 5 шахматистов, не являющихся гроссмейстерами. Посмотрим, сколькими способами можно сформировать такую группу.

Из 4 гроссмейстеров выбираем троих:

C³₄ = 4 (способа).

Из 12 шахматистов, не являющихся гроссмейстерами, выбираем пятерых:

C⁵₁₂ = 12! / (5! * 7!) = 792 (способа).

Считаем количество способов:

C³₄ * C⁵₁₂ = 4 * 792 = 3168 (способов).

Посчитаем общее количество благоприятных исходов.

C¹₄ * C⁷₁₂ + C³₄ * C⁵₁₂ = 3168 + 3168 = 6336 (исходов).

Итак, существует 6336 благоприятных исходов.

А всего существует 12870 исходов. Вычислим искомую вероятность.

6336 / 12870 = 32/65.

Ответ: 32/65.