На шахматном турнире каждый из участников должен был сыграть ровно одну партию с каждым из прочих, но два участника выбыли из турнира, сыграв только по 4 партии. Поэтому число партий, сыгранных в турнире, оказалось равным 62. Сколько всего было участников турнира?

1. Предположим, первоначально было n + 2 участников шахматного турнира.

2. Число партий, сыгранных двумя выбывшими участниками, равно 7 или 8, в зависимости от того, играли ли они друг с другом. Для остальных же партий получим:

k = 62 - 8 = 54 или: k = 62 - 7 = 55.

3. Каждая пара среди остальных n участников сыграла по одной партии. Количество таких пар равно сочетанию из n по 2, следовательно, можем составить уравнение:

С (n; 2) = k; n! / (2! * (n - 2) !) = k; n * (n - 1) / 2 = k; n * (n - 1) = 2k; n^2 - n - 2k = 0; D = 1^2 + 4 * 2k = 1 + 8k.

1) k = 54:

D = 1 + 8 * 54 = 432, не является квадратом натурального числа.

2) k = 55:

D = 1 + 8 * 55 = 441 = 21^2. n = (1 ± 21) / 2; n1 = (1 - 21) / 2 = - 20/2 = - 10, не удовлетворяет условию задачи; n2 = (1 + 21) / 2 = 22/2 = 11.

Всех участников:

n + 2 = 11 + 2 = 13.

Ответ: 13 участников.