Решить логарифмическое уравнение:log4 (2x-1) * log4 (x) = 2log4 (2x-1)

Найдем ОДЗ:

log ₄ (2 х - 1) * log ₄ х = 2log ₄ (2 х - 1);

{2 х - 1> 0;

{х > 0;

2x > 1;

x > 1/2;

х ∈ (1/2; + ∞);

Перенесем все значения влево:

log ₄ (2 х - 1) * log ₄ х - 2log ₄ (2 х - 1) = 0;

Вынесем общий множитель:

log ₄ (2 х - 1) * (log ₄ х - 2) = 0;

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) log ₄ (2 х - 1) = 0;

Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

0 = 0 * log ₄ 4 = log ₄ 4⁰ = log ₄ 1

log ₄ (2 х - 1) = log ₄ 1;

Из равенства основания логарифмов следует:

(2 х - 1) = 1;

2 х = 1 + 1;

2 х = 2;

х = 2 / 2;

х1 = 1

2) (log ₄ х - 2) = 0;

log ₄ х = 2;

Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

2 = 2 * log ₄ 4 = log ₄ 4²;

log ₄ х = log ₄ 4²;

Из равенства основания логарифмов следует:

х = 4²;

х2 = 16

Ответ: x1 = 1, х2 = 16.