Как найти первый член арифметической прогрессии если известны а10 и а40

Пусть имеем арифметическую прогрессию a (1), a (2), ... с разностью d, в которой известны только a (10) и a (40). Необходимо выразить a (1) через a (10) и a (40).

Запишем выражения a (10) и a (40) через a (1) и d:

a (10) = a (1) + 9d,

a (40) = a (1) + 39d.

Вычтя из второго уравнения первое, получим:

30d = a (40) - a (10);

d = (a (40) - a (10)) / 30.

Тогда:

a (1) = a (10) - 9d = a (10) - 3/10 · a (40) + 3/10 · a (10) = 13/10 · a (10) - 3/10 · a (40).