Доказать, что при любом натуральном n число 4^{2n}-3^{2n}+2^{3n}-1 делится на 7

1. Составим сравнения по модулю 7 для степеней:

1) 4^ (2n);

4^1 ≡ 4 (mod 7); 4^2 ≡ 16 ≡ 2 (mod 7); 4^ (2n) ≡ 2^ (2n) (mod 7). (1)

2) 3^ (2n);

3^1 ≡ 3 (mod 7); 3^2 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7); 3^ (2n) ≡ 2^ (2n) (mod 7). (2)

3) 2^ (3n);

2^1 ≡ 2 (mod 7); 2^3 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7); 2^ (3n) ≡ 1 (mod 7). (3)

2. Из сравнений (1), (2) и (3) получим:

4^ (2n) - 3^ (2n) + 2^ (3n) - 1 ≡ 2^ (2n) - 2^ (2n) + 1 - 1 (mod 7); 4^ (2n) - 3^ (2n) + 2^ (3n) - 1 ≡ 0 (mod 7). (4)

Сравнение (4) означает, что его левая часть делится без остатка на 7. Доказано.