При каких значениях b и c парабола y=x^2+bx+c касается с прямой y=4x+1 в точке с абсциссой x0=1

1. Найдем координаты точки касания графиков двух функций:

y = 4x + 1; x0 = 1; y0 = 4 * 1 + 1 = 5.

Точка касания: (1; 5).

2. Угловой коэффициент касательной (k = 4) равен значению производной функции в точке касания:

y (x) = x^2 + bx + c; y' (x) = 2x + b; y' (x0) = y' (1) = 2 * 1 + b = b + 2; y' (x0) = k; b + 2 = 4; b = 2.

3. Координаты точки касания должны удовлетворять уравнению параболы:

y = x^2 + bx + c; 5 = 1^2 + b * 1 + c; 5 = 1 + b + c; b + c = 4; c = 4 - b = 4 - 2 = 2.

Ответ: b = 2; c = 2.