Для функции y=3 / (2x+3) ^4 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку A (-1; 1,5)

Нам задана функция уравнением y = 3 / (2x + 3) ^4 нужно найти первообразную, график которой проходит через точку с координатами А ( - 1; 1,5).

Составим план решения задачи найдем общий вид первообразной для заданной функции; подставляем в первообразную вместо х и у координаты точки А; решаем полученное уравнение относительно переменной с; записываем первообразную, проходящую через точку А. Интегрируем функцию у = 3 / (2x + 3) ^4

Для того, чтобы найти общий вид первообразной заданной функции проинтегрируем функцию.

∫3 / (2x + 3) ^4dx = 3∫1 / (2x + 3) ^4dx;

введем замену, пусть u = 2x + 3 и du = 2dx.

3∫1 / (2x + 3) ^4dx = 3/2∫1/u^4du = - 1 / (2u^3) + C.

Возвращаемся к введенной ранее замене.

- 1 / (2u^3) + C = - 1 / (2 (2 х + 3) ^3) + C.

Найдем значение переменной С

Для того, чтобы найти ту первообразную, график которой проходит через точку А ( - 1; 1,5) подставим в первообразную вместо х = - 1 и у = 1,5 и решим полученное уравнение относительно переменной с.

Y (x) = - 1 / (2 (2 х + 3) ^3) + C;

1.5 = - 1 / (2 (2 * ( - 1) + 3) ^3) + C;

1.5 = - 1/2 + C.

Перенесем в правую часть полученного уравнения слагаемые без переменной, а в левую слагаемые с переменной С.

Когда переносим слагаемые из левой части уравнения в правую или наоборот меняем знак слагаемого на противоположный.

- С = - 1/2 - 1,5;

- С = - 0,5 - 1,5;

- С = - 2;

Избавимся от минуса перед переменной, для этого умножим на - 1 обе части уравнения.

С = 2.

Подставим найденное значение С = 2 в первообразную и получим функцию график которой проходит через точку А ( - 1; 1,5).

Y (x) = - 1 / (2 (2x + 3) ^3) + 2.

Ответ: Y (x) = - 1 / (2 (2x + 3) ^3) + 2.

Первообразная заданной функции будет иметь вид:

F = ∫ (3 / (2x+3) ^4) * dx + C, где C - константа.

Произведем замену t = 2x + 3, тогда dt = 2 * dx:

F = ∫ (3 / 2 * t^4) * dt + C = 3/2 * (-1/4) * t^ (-5) + C = (-3/8) * t^ (-3) + C.

Подставим координаты точки А в уравнение первообразной и найдем С.

(-3/8) / (-1) ^3 + С = 3/2

С = 3/2 - 3/8 = 12/8 - 3/8 = 9/8

Ответ: F = (-3/8) * t^ (-3) + 9/8.