Докажите, что число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении: 1) на 3; 2) на 9;

Пусть натуральное А число записывается цифрами:

an ... a3 a2 a1. Представим его в десятичном разложении:

А = аn * 10^ (n - 1) + ... + 100 * a3 + 10 * a2 + a1.

Заметим, что:

А = аn * 10^ (n - 1) + ... + 100 * a3 + 10 * a2 + a1 =

= аn * (10^ (n - 1) - 1) + ... + (100 - 1) * a3 + (10 - 1) * a2 + a1 + a2 + a3 + ... + an.

Заметим также, что:

10^n - 1 = (10 - 1) * (10^ (n - 1) + ... + 10^2 + 10 + 1) =

= 9 * (10^ (n - 1) + ... + 10^2 + 10 + 1) и значит делится и на 3 и на 9.

Отсуда вытекает, что А и сумма его цифр имеют имеют одинаковые остатки при делении на 3 и на 9.