В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 5 а один катет на 1 больше чем другой. найдите площадь треугольника.

Дано:

прямоугольный треугольник АВС;

угол С = 90;

АВ - гипотенуза;

АВ = 5;

СА = СВ + 1.

Найти площадь АВС, то есть

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Пусть х, тогда СА равен х + 1. Тогда по теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

АС^2 + ВС^2 = АВ^2:

(х + 1) ^2 + х^2 = (5) ^2;

х^2 + 2 х + 1 + х^2 = 25;

2 х^2 + 2 х + 1 - 25 = 0;

2 х^2 + 2 х - 24 = 0;

а = 2, b = 2, с = - 24;

D = b^2 - 4 * а * с = 4 - 4 * 2 * (-24) = 196 (дискриминант больше нуля, тогда данное квадратное уравнение имеет два корня);

х = (-b + √ D) / 2 * а = (-2 + √ 196) / 2 * 2 = (-2 + 14) / 2 * 2 = 12/4 = 3;

х = (-b - √ D) / 2 * а = (-2 - √ 196) / 2 * 2 = (-2 - 14) / 4 = - 4 не удовлетворяет условию задачи.

АС = 3 и ВС = 4.

2) Sавс = 1/2 * СА * ВС;

Sавс = 1/2 * 3 * 4;

Sавс = 6.

Ответ: 6.

В этой задаче вам необходимо найти площадь треугольника, если известно, что:

треугольник прямоугольный; гипотенуза равна 5; длина одного из катетов на 1 больше длины другого. Анализ условий задачи

Прежде всего, вспомним способы, которыми можно вычислить площадь прямоугольного треугольника:

1) площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов;

2) площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

Таким образом, для того, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника нужно узнать либо длины катетов, либо длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Найдем длины катетов данного прямоугольного треугольника.

Выбор переменной и составление уравнения

Обозначим длину меньшего из катетов данного прямоугольного треугольника за х. Тогда длина второго катета х + 1.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

25 = х^2 + (x + 1) ^2.

Решение квадратного уравнения

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение:

х^2 + х^2 + 2 х + 1 = 25;

2 х^2 + 2 х - 24 = 0;

х^2 + х - 12 = 0;

По теореме, обратно теореме Виета, х1 = - 4, х2 = 3.

Так как длина не может быть отрицательным числом, то условию задачи удовлетворяет лишь второй корень уравнения.

Нахождение площади треугольника

Итак, мы установили, что длина меньшего катета 3. Тогда длина второго катета 4. Найдем площадь данного прямоугольного треугольника:

S = 0.5 * (3 + 4) = 3,5.

Ответ: 3,5.