Найдите наибольшее трехзначное число, дающее при делении на 3, 6, 12, 18 остаток 2.

1. Пусть число n при делении на 3, 6, 12, 18 дает остаток 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 36. Найдем, какой остаток должно давать число n при делении на 36:

n = 36k + r, r = 0, 1, ... 35;

1) n ≡ 2 (mod 18);

36k + r ≡ 2 (mod 18); r ≡ 2 (mod 18); r = 2; 20. (1)

2) n ≡ 2 (mod 12);

36k + r ≡ 2 (mod 12); r ≡ 2 (mod 12); r = 2; 14; 26. (2)

2. Из (1) и (2) следует, что r = 2 (для 3 и 6 также подходит):

n = 36k + 2.

Наибольшее трехзначное число:

999 : 36 = 27,75; k = 27; n = 36 * 27 + 2 = 972 + 2 = 974.

Ответ: 974.