Найдите наименьшее положительное число, дающее при делении на 2 остаток 1, при делении на 3 остаток 2, ..., при делении на 10 остаток 9.

1. В каждом случае получаем наибольший возможный остаток для данного делителя. Поэтому, если прибавим единицу к искомому числу x, то полученное число будет кратно всем делителям, стало быть, и их наименьшему общему кратному:

НОК (2, 3, ..., 9, 10) = 8 * 9 * 5 * 7 = 40 * 63 = 2520; x + 1 = 2520k; x = 2520k - 1.

2. Наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи, получим при k = 1:

xmin = 2520 * 1 - 1 = 2520 - 1 = 2519.

Ответ: 2519.