Все члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии положительны, а их сумма равна 8, сумма ее первых четырех членов равна 15/2. Найдите первый член прогрессии.

Для решения применим формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии: S_n = (b₁ * (qⁿ - 1)) / (q - 1).

Подставим значения из условия задачи: S₄ = 15/2, n = 4: 15/2 = (b₁ * (q⁴ - 1)) / (q - 1).

И b₁ / (1 - q) = 8.

Запишем полученную систему.

15/2 = (b₁ * (q⁴ - 1)) / (q - 1),

8 = b₁ / (1 - q).

При этом:

15 * (q - 1) = 2 * (b₁ * (q⁴ - 1)),

b₁ = 8 * (1 - q).

Подставим значение b₁ в первое равенство:

15 * (1 - q) = 2 * (8 * (q - 1) * (q⁴ - 1)),

15 * (1 - q) = 16 * (q - 1) * (q⁴ - 1).

1 = (16 * (q - 1) * (q⁴ - 1)) / (15 * (1 - q)).

1 = - 16/15 * (q⁴ - 1).

q⁴ - 1 = 1 / (-16/15) = 1 * (-15/16) = - 15/16.

q⁴ = - 15/16 + 1 = (-15 + 16) / 16 = 1/16.

q⁴ = 1/16

q = ⁴√ (1⁴/2⁴ = 1/2.

Значит: b₁ = 8 * (1 - 1/2) = 8 * 1/2 = 4.

Ответ: b₁ = 4.