Докажите, что для любого неотрицательного целого числа n число 5^ (2n+3) + 8n + 3 делится на 16.

Составим сравнения по модулю 16:

5^1 ≡ 5 (mod 16); 5^2 ≡ 25 ≡ 16 + 9 ≡ 9 (mod 16); 5^3 ≡ 45 ≡ 32 + 13 ≡ 13 (mod 16);

a) n = 2k;

5^4 ≡ 81 ≡ 80 + 1 ≡ 1 (mod 16); 5^ (4k) ≡ 1 (mod 16); 5^ (2n) ≡ 1 (mod 16); 5^ (2n + 3) + 3 ≡ 125 + 3 ≡ 128 ≡ 0 (mod 16); 5^ (2n + 3) + 16k + 3 ≡ 0 (mod 16); 5^ (2n + 3) + 8n + 3 ≡ 0 (mod 16); (1)

b) n = 2k + 1;

5^ (4k) ≡ 1 (mod 16); 5^ (4k + 2) ≡ 9 (mod 16); 5^ (2 (2k + 1)) ≡ 9 (mod 16); 5^ (2n) ≡ 9 (mod 16); 5^ (2n + 3) ≡ 9 * 13 ≡ 117 ≡ 112 + 5 ≡ 5 (mod 16); 5^ (2n + 3) + 16k + 8 ≡ 5 + 8 (mod 16); 5^ (2n + 3) + 8 (2k + 1) ≡ 13 (mod 16); 5^ (2n + 3) + 8n ≡ 13 (mod 16); 5^ (2n + 3) + 8n + 3 ≡ 13 + 3 ≡ 16 ≡ 0 (mod 16); 5^ (2n + 3) + 8n + 3 ≡ 0 (mod 16). (2)

Из сравнений (1) и (2) следует, что заданное выражение делится на 16 при любых целых значениях n.