На координатном луче отметили три точки А, В и С с натуральными координатами. Докажите, что хотя бы одна из серединьотрезков с концами в этих точках имеет натуральную координату.

Пусть координаты точек A, B и C - натуральные числа a, b, c.

Найдем координаты точек середин отрезков с концами в точках A, B и C.

Для отрезка AB: x1 = (b - a) / 2.

Для отрезка BC: x2 = (c - a) / 2.

Для отрезка AC: x3 = (c - a) / 2.

Так как a, b и с натуральные числа, а при делении на 2, натуральное число может либо делиться на 2, либо давать при делении на 2 в остатке 1, т. е. быть либо четным числом, либо нечетным числом, то хотя бы 2 из трех чисел a, b, c будут либо четными, либо нечетными.

Следовательно, разность этих двух чисел будет четным числом.

А это означает, что хотя бы одно из значений x1, x2, x3 является натуральным числом,

что и требовалось доказать.