В прямоугольном треугольнику АВС длина катета ВС равна 13 см, а длина высоты СД проведенной с гипотенузе АВ, равна 12 см. Вычислите длину проекции катета ВС на гипотенузу и длину катета АС

Даны: ∆ABC - прямоугольный (<С = 90°), BC = 13 см, высота CD = 12 см (проведённая к AB).

Найти: BD, AC.

∆CDB - прямоугольный, т. к. CD - перпендикуляр. За теоремой Пифагора:

BC² = CD² + BD².

Отсюда:

BD² = BC² - CD²,

BD² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25 (см),

BD = √25 = 5 (см).

За свойством высоты, проведённой к гипотенузе:

CD = √AD * √BD,

CD² = AD * BD.

Отсюда:

AD = CD²/BD,

AD = 12²/5 = 144/5 = 28,8 (см).

Находим гипотенузу AB:

AB = AD + BD,

AB = 28,8 + 5 = 33,8 (см).

За теоремой Пифагора:

AB² = AC² + BC².

Отсюда:

AC² = AB² - BC²,

AC² = 33,8² - 13² = 1142,44 - 169 = 973,44 (см),

AC = √973,44 = 31,2 (см).

Ответ: AC = 31,2 см; BD = 5 см.