Доказать, что корень из трех не является рациональным числом

Предположим обратное, что √3 является рациональным числом.

Тогда существуют такие взаимно простые натуральные n, m, что:

√3 = n / m.

Следовательно:

√3 * m = n,

3 * m^2 = n^2.

Так как m и n - взаимно простые, а значит не имеют общих делителей отличных от единицы, то n должно делиться на 3.

Тогда n можно представить в виде:

n = 3 * p.

Следовательно:

3 * m^2 = (3 * p) ^2 = 9 * p^2,

m^2 = 3 * p^2.

Из последнего уравнения вытекает, что m тоже делится на 3.

Значит, m, n - оба должны делиться на 3, что противоречит их взаимной простоте. Получили противоречие, что и требовалось доказать.