Найдите радиус основания и высоту цилиндра, имеющего объем 27pi см^3, у которого площадь полной поверхности наименьшая

Допустим, что цилиндр с радиусом основания R и высотой Н имеет наименьшую полную поверхность. Как известно, для вычисления объёма (V) и площади (S) полной поверхности цилиндра, имеются формулы: V = π * R² * Н и S = 2 * π * R * (R + Н). Используя условие задания V = 27 * π см³, имеем: π * R² * Н = 27 * π, откуда Н = 27 / R². Здесь и в дальнейшем опустим единицы измерений см, см² и см³. Подставляя найденное выражение в формулу полной поверхности, получим: S = S (R) = 2 * π * R * (R + 27 / R²) = 2 * π * R² + 54 * π * R^-1. Для выполнения требования задания, применим дифференциальное исчисление. Найдём первую производную функции S (R) = 2 * π * R² + 54 * π * R^-1. Имеем: S' (R) = (2 * π * R² + 54 * π * R^-1) ' = 4 * π * R - 54 * π * R^-2. Приравнивая это выражение к нулю, получим следующее уравнение 4 * π * R - 54 * π * R^-2 = 0 или 2 * π * (R³ - 27) = 0. Это уравнение относительно R имеет один корень R = 3. Исследуем знак производной S' (R) в окрестности точки R = 3. Левее точки R = 3 справедливо неравенство S' (R) <0 (например, при производная S' ( * π * 2 - 54 * π / - 27) * (π / * (π/2) 0 (например, при производная S' ( * π * 4 - 54 * π / - 27) * (π / * (π/4) > 0). Таким образом, при переходе через точку R = 3 производная меняет знак с "-" на "+". Значит, функция S (R) при R = 3 принимает своё минимальное значение, которое равно S (3) = 2 * π * 3² + 54 * π * 3^-1 = 18 * π + 18 * π = 36 * π. Таким образом, если радиус основания цилиндра равен 3 см, а его высота Н = (27 / R²) см = (27/9) см = 3 см.

Ответ: Радиус основания = 3 см и высота = 3 см.