8 sin^3 (x) - 6 sin (x) - 1=0

Пусть sin x = a, тогда:

8 * a³ - 6 * a - 1 = 0.

Делим на 8:

a³ - (3/4) * a - 1/8 = 0.

Здесь p = - 3/4 < 0, q = - 1/8.

Находим дискриминант кубического уравнения:

D = p³/27 + q²/4 = - 3/64 < 0.

Т. к. p < 0 и D < 0, то имеем 3 вещественных корня:

R = √ (|p|/3) = 1/2;

φ = arccos (q / (2 * R³)) = arccos (-1/2) = 120°;

a1 = - 2 * R * cos (φ/3) = - cos 40°,

a2 = - 2 * R * cos (φ/3 + 120°) = - cos 160°,

a3 = - 2 * R * cos (φ/3 + 240°) = - cos 280°;

sin x = a1, = > x = - ((-1) ^k) * arcsin (cos 40°) + pi * k,

sin x = a2, = > x = - ((-1) ^k) * arcsin (cos 160°) + pi * k,

sin x = a3, = > x = - ((-1) ^k) * arcsin (cos 280°) + pi * k.