Докажите, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на9

Обозначим через х первое число из данной последовательности трех последовательных целых чисел.

Тогда второе и третье числа из этой последовательности будут равны соответственно х + 1 и х + 2, а сумма кубов этих трех числе будет равна:

х^3 + (x + 1) ^3 + (x + 2) ^3.

Используя формулу куба суммы, получаем:

х^3 + (x + 1) ^3 + (x + 2) ^3 = х^3 + 3 х^2 + 3 х + 1 + х^3 + 6 х^2 + 12 х + 8 = 3 х^3 + 9 х^2 + 15 х + 9 = 3 * (х^3 + 3 х^2 + 5 х + 3).

Из полученного представления следует, что сумма х^3 + (x + 1) ^3 + (x + 2) ^3 делится на 3 при любом значении х.