Y=x^2 (x-3) ^2 найдите точки экстремумы функции

у = x² (x - 3) ².

Найдем производную функции по формуле производной произведения.

у' = (x²) ' * (x - 3) ² + x² * ((x - 3) ²) ' = 2x * (x - 3) ² + x² * 2 (x - 3) = 2x (x² - 6 х + 9) + 2x² (x - 3) = 2x³ - 12 х² + 18x + 2x³ - 6 х² = 4x³ - 18 х² + 18x = 2x (2 х² - 9 х + 9).

Найдем нули производной:

у' = 0;

2x (2 х² - 9 х + 9) = 0.

Отсюда 2 х = 0; х = 0.

Или 2 х² - 9 х + 9 = 0; D = 81 - 72 = 9 (√D = 3);

х₁ = (9 - 3) / 4 = 6/4 = 1,5.

х₂ = (9 + 3) / 4 = 3.

Определяем знаки каждого промежутка:

(-∞; 0) пусть х = - 1; у' (-1) = - 40 (минус), функция убывает.

(0; 1,5) пусть х = 1; у' (1) = 4 (плюс), функция возрастает.

(1,5; 3) пусть х = 2; у' (2) = - 22 (минус), функция убывает.

(3; + ∞) пусть х = 4; у' (4) = 40 (плюс), функция возрастает.

Значит, х = 0 и х = 3 - это точки минимума функции, а х = 1,5 - это точка максимума.