Найти угловые коэффициенты касательных к графику функции f (x) = -4/x, пересекающих прямую у=х в точке с абциссой х=-1

Рассмотрим функцию f (x) = - 4 / x. Как известно, уравнение касательной к графику функции f (x) в точке x₀ имеет вид: у = f (x₀) + f ' (x₀) * (x - x₀). Для нашей функции f (x) = - 4 / x, получим: f Ꞌ (x) = (-4 / x) Ꞌ = - 4 * (х^-1) Ꞌ = - 4 * (-1) * х^{-1 - 1} = 4 / x² и f ' (x₀) = 4 / (x₀) ². Следовательно, уравнение касательной к графику нашей функции f (x) в точке x₀ имеет вид: у = f (x₀) + (4 / (x₀) ²) * (x - x₀) = - 4 / x₀ + (4 / (x₀) ²) * x - 4 / x₀ = (4 / (x₀) ²) * x - 8 / x₀, то есть, у = (4 / (x₀) ²) * x - 8 / x₀. По условию задания, касательная к графику данной функции пересекает прямую у = х в точке с абсциссой х = - 1. Ясно, что ордината точки пересечения также имеет значение у = х = - 1. Следовательно, точка пересечения с координатами (-1; - 1) должна удовлетворять уравнению касательной. Следовательно, имеем: - 1 = (4 / (x₀) ²) * (-1) - 8 / x₀. Это уравнение относительно x₀ после соответствующих преобразований может быть приведено к виду (x₀) ² - 8 * x₀ - 4 = 0 и имеет два различных корня: (x₀) ₁ = 4 - 2√ (5) и (x₀) ₂ = 4 + 2√ (5). Для каждого корня найдём угловой коэффициент касательной. При x₀ = 4 - 2√ (5), угловой коэффициент равен 4 / (x₀) ² = 4 / (4 - 2√ (5)) ² = 4 / (16 - 16√ (5) + 20) = 9 + 4√ (5). Аналогично, если x₀ = 4 - 2√ (5), то имеем: 4 / (x₀) ² = 4 / (4 + 2√ (5)) ² = 4 / (16 + 16√ (5) + 20) = 9 - 4√ (5).

Ответ: 9 + 4√ (5) и 9 - 4√ (5).