Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найти периметр и площадь треугольника, подобного данному, если коэффициент подобия равен 1:4

Сначала вычислим периметр (Р) и площадь (S) данного треугольника. Периметр данного треугольника найдём по формуле P = a + b + c, где a, b и c - длины сторон треугольника. Для нашего задания, можно принять, например, a = 8 см, b = 5 см и с = 7 см. Тогда, P = 8 см + 5 см + 7 см = 20 см. Теперь вычислим площадь S по формуле Герона S = √ (р * (р - а) * (р - b) * (р - с)), где р = Р / 2 - полупериметр. Имеем: р = Р / 2 = (20 см) / 2 = 10 см. Следовательно, S = √ ((10 см) * (10 см - 8 см) * (10 см - 5 см) * (10 см - 7 см)) = √ ((10 см) * (2 см) * (5 см) * (3 см)) = √ (300 см⁴) = 10√ (3) см². Как известно, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Поэтому если коэффициент подобия равен 1 : 4, то периметр треугольника, подобного данному (которого обозначим через Р_подоб.) можно вычислить из пропорции Р: Р_подоб. = 1 : 4. Используя основное свойство пропорции, имеем: 1 * Р_подоб. = 4 * Р, то есть, Р_подоб. = 4 * (20 см) = 80 см. Теперь используем следующее свойство подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Площадь треугольника, подобного данному, обозначим через S_подоб. Имеем S : S_подоб. = (1 : 4) ² или S : S_подоб. = 1 : 16, откуда, S_подоб. = 16 * S = 16 * 10√ (3) см² = 160√ (3) см².

Ответ: 80 см и 160√ (3) см².