Найдите площадь фигуры ограниченной параболой у=3 х-х^2 и касательной, проведенной к этой параболе в точке х=3, а так же осью ординат

Вначале нужно найти уравнение касательной.

Y=y (a) + y ' (a) * (x - a), a=3

y (a) = 3a - a^2, y (3) = 9 - 9 = 0

y ' (a) = 3 - 2a, y' (3) = 3 - 6 = - 3

Y = - 3 * (x - 3) = - 3x + 9 - касательная к графику.

Начертим три графика: две прямые и парабола.

Парабола: ветви вниз (т. к. коэфф. при квадрате отрицательный, = - 1), точки пересечения с осью Ох: x=0, x=3. Ось симметрии проходит через точку x=1.5.

Y пересекает ось Оу в точке: (0; 9)

Площадь закрашенной фигуры - это интеграл в пределах от 0 до 3:

интеграл (Y - y) dx = интеграл (-3x + 9 - 3x + x^2) dx = интеграл (x^2 - 6x + 9) dx = (x^3) / 3 - 3x^2 + 9x = 27/3 - 3*9 + 9*3 - 0 = 9 - 27 + 27 = 9

Ответ: площадь фигуры S=9