Найти точку минимума функции x^3+6x^2+15

Рассмотрим функцию у = x³ + 6 * x² + 15. Отметим, что данная функция определена и дифференцируема для всех х ∈ (-∞; + ∞). По требованию задания, найдём точки минимума данной функции, если таковые существуют. Воспользуемся приёмами дифференциального и интегрального исчисления. Как известно, необходимым условием экстремума функции одной переменной в точке x * является равенство нулю первой производной функции, то есть, в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Найдём первую производную данной функции: f Ꞌ (x) = (x³ + 6 * x² + 15) Ꞌ = 3 * x² + 12 * х. Приравнивая производную к нулю, получим уравнение 3 * x² + 12 * х = 0 или, сокращая обе части на 3, уравнение x² + 4 * х = 0. Нетрудно убедиться, что это неполное квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = - 4 и x₂ = Для выяснения поведения функции в найденных точках, рассмотрим поведение производной в следующих трёх множествах: (-∞; - 4), (-4; 0) и (0; + ∞). Очевидно, что: при х ∈ (-∞; - 4) производная f Ꞌ (x) > 0; при х ∈ (-4; 0) производная f Ꞌ (x) 0. Поскольку при переходе через точку х = - 4 производная f Ꞌ (x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка x = - 4 является точкой максимума функции. Вычислим значение данной функции при x = - 4. Имеем: f (-4) = (-4) ³ + 6 * (-4) ² + 15 = 47. Аналогично, поскольку при переходе через точку х = 0 производная f Ꞌ (x) меняет свой знак с минуса на плюс, то точка x = 0 является точкой минимума функции. Вычислим значение данной функции при x = 0. имеем: f (0) = 0³ + 6 * 0² + 15 = 15. Значит, точкой минимума данной функции является х = 0.

Ответ: Точкой минимума данной функции является х = 0.