Посчитайте сумму n + (n+1) + ... + (n+m). Где n, m произвольные натуральные числа.

Анализ суммы, которую обозначим через А (n; m) = n + (n + 1) + ... + (n + m), показывает, что требуется найти сумму первых (m + 1) членов арифметической прогрессии с первым членом n и с шагом 1. Как известно, для определения суммы (S_k) первых k членов арифметической прогрессии а_k, k = 1, 2, ..., можно воспользоваться формулой S_k = ((а₁ + а_k) / 2) * k. Поскольку, первый член данной арифметической прогрессии равен а₁ = n, разность d = 1, а количество суммируемых членов равно (m + 1), то имеем А (n; m) = ((n + (n + m)) / 2) * (m + 1) = ((2 * n + m) / 2) * (m + 1) = (n + 0,5 * m) * (m + 1) = (m + 1) * n + 0,5 * m * (m + 1). Следует отметить, что раскрыв скобки можно преобразовать данную сумму А (n; m). Тогда А (n; m) = (m + 1) * n + 1 + 2 + ... + m. Дальше применив формулу из п. 2, снова придём к полученному результату.

Ответ: n + (n + 1) + ... + (n + m) = (m + 1) * n + 0,5 * m * (m + 1).