Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогресси равна 36, а сумма всех членов этой прогресси с четными номерами равна 3

Покажем, что если последовательность bn является геометрической прогрессией со знаменателем q, то последовательность cn = b2n также является геометрической прогрессией со знаменателем q^2.

Найдем отношение n+1 члена последовательности cn к n-му члену данной последовательности:

сn+1/сn = (b2n+2) / b2n = (b1*q^ (2n+1)) / (b1*q^ (2n-1)) = q^ (2n+1) / q^ (2n-1) = q^2.

Таким образом, последовательность cn является геометрической прогрессией со знаменателем q^2 и первым членом с1 = b2 = b1*q.

По условию задачи, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии bn равна 2. Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = b1 / (1 - q), можем записать:

b1 / (1 - q) = 36.

Поскольку последовательность bn является бесконечно убывающей, то ее знаменатель q меньше 1. Следовательно значение q^2 также меньше 1, а значит, последовательность сn также является бесконечно убывающей.

По условию задачи, сумма всех членов прогрессии сn равна 3, следовательно, можем записать:

b1*q / (1 - q^2) = 3.

Решаем полученную систему уравнений.

Разделив второе уравнение на первое уравнение, получаем:

(b1*q / (1 - q^2)) / (b1 / (1 - q)) = 3/36;

(b1*q / (1 - q^2)) * ((1 - q) / b1) = 1/12;

b1*q * (1 - q) / ((1 - q^2) * b1) = 1/12;

b1*q * (1 - q) / ((1 - q) * (1 + q) * b1) = 1/12;

q* / (1 + q) = 1/12.

Решаем полученное уравнение:

12*q = 1 + q;

12*q - q = 1;

11*q = 1;

q = 1/11.

Ответ: знаменатель данной геометрической прогрессии равен 1/11.