Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогресси, если сумма всех членов прогресси равна 2, а сумма квадратов всех членов этой прогресси равна 5.

Покажем, что если последовательность bn является геометрической прогрессией со знаменателем q, то последовательность cn = (bn) ^2 также является геометрической прогрессией со знаменателем q^2.

Найдем отношение n+1 члена последовательности cn к n-му члену данной последовательности:

сn+1/сn = ((bn+1) ^2) / (bn) ^2 = ((b1*q^n) ^2) / (b1*q^ (n-1) ^2 = b1^2*q^2n / (b1^2*q^ (2n-2)) = q^2n/q^ (2n-2) = q^2.

Таким образом, последовательность cn является геометрической прогрессией со знаменателем q^2 и первым членом с1 = b1^2.

По условию задачи, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии bn равна 2. Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = b1 / (1 - q), можем записать:

b1 / (1 - q) = 2.

Поскольку последовательность bn является бесконечно убывающей, то ее знаменатель q меньше 1. Следовательно значение q^2 также меньше 1, а значит, последовательность сn также является бесконечно убывающей.

По условию задачи, сумма всех членов прогрессии сn равна 5, следовательно, можем записать:

b1^2 / (1 - q^2) = 5.

Решаем полученную систему уравнений.

Разделив второе уравнение на первое уравнение, получаем:

(b1^2 / (1 - q^2)) / (b1 / (1 - q)) = 5/2;

(b1^2 / (1 - q^2)) * ((1 - q) / b1) = 5/2;

b1^2 * (1 - q) / ((1 - q^2) * b1) = 5/2;

b1^2 * (1 - q) / ((1 - q) * (1 + q) * b1) = 5/2;

b1* / (1 + q) = 5/2.

Подставляя в полученное соотношение значение b1 = 2 * (1 - q), получаем:

2 * (1 - q) / (1 + q) = 5/2.

Решаем полученное уравнение:

4 * (1 - q) = 5 * (1 + q);

4 - 4*q = 5 + 5*q;

5*q + 4*q = 4 - 5;

9*q = - 1;

q = - 1/9.

Ответ: знаменатель данной геометрической прогрессии равен - 1/9.