В геометрической прогрессии 10 членов, их сумма равна 42,625, а сумма членов с четными номерами в два раза меньше суммы членов с нечетными номерами. Пятый член этой прогрессии равен

Выразим наши известные суммы через первый член. Сумма членов с нечётными номерами будет выглядеть так:

b₁ + b₁ * q² + b₁ * q⁴ + b₁ * q⁶ + b₁ * q⁸ = b₁ * (1 + q² + q⁴ + q⁶ + q⁸).

А сумма членов с чётными номерами:

b₁ * q + b₁ * q³ + b₁ * q⁵ + b₁ * q⁷ + b₁ * q⁹ = b₁ * q * (1 + q² + q⁴ + q⁶ + q⁸).

Если сумма членов с чётными номерами меньше в 2 раза, то отношение этих двух выражений будет равно 2. Уравнение будет выглядеть так:

(b₁ * (1 + q² + q⁴ + q⁶ + q⁸)) / (b₁ * q * (1 + q² + q⁴ + q⁶ + q⁸)) = 2;

1 / q = 2;

q = 1 / 2.

Теперь подставим знаменатель прогрессии в формулу суммы первых 10 членов и найдём первый член:

b₁ * ((1 / 2) ^ 10 - 1) / (1 / 2 - 1) = 42,625;

b₁ * (1 - 1 / 1024) / (1 - 1 / 2) = 42,625;

b₁ * (1023 / 1024) / (1 / 2) = 42,625;

b₁ * (1023 / 1024) * 2 = 42,625;

b₁ * 1023 / 512 = 42,625;

b₁ = 42,625 * 512 / 1023;

b₁ = 64 / 3.

Тогда пятый член равен:

b₅ = b₁ * q⁴ = 64 / 3 * (1 / 2) ^ 4 = 64 / 3 * 1 / 16 = 4 / 3.

Ответ: пятый член геометрической прогрессии равен 4 / 3.