Найти высоту треугольника ABC, опущенную из вершины А на сторону BC, если А (2,1), В (-3,4), С (1,1)

Пусть АК - высота, опущенная. Из условия перпендикулярности векторов х (АК) х (ВС) + у (АК) у (ВС) = 0 получаем уравнение прямой, проходящей через точки А и К: 4 (х - 2) + (-3) (у - 1) = 0 или 4 х - 3 у = 5.

Уравнение прямой, проходящей через точки В и С, определяем как (х - х (С)) / (х (В) - х (С)) = (у - у (С)) / (у (В) - у (С)) или 3 х + 4 у = 7.

Точка пересечения прямых 4 х - 3 у = 5 и 3 х + 4 у = 7 и есть точка К. Координаты точки К (41/25; 13/25).

Величина АК = (((х (К) - х (А)) ^2 + (у (К) - у (А)) ^2) ^1/2 = 3/5.