Известно, что число a при делении на 7 даёт остаток 2, а при делении на 11 даёт остаток 8. Найдите остаток от деления числа a на 77.

Если число а при делении на 7 даёт в остатке 2, то его можно представить в виде:

а = 7 * n + 2, где n - целое число.

Если число а при делении на 11 даёт в остатке 8, то его можно представить в виде:

а = 11 * m + 8, где m - целое число.

Следовательно, имеем:

7 * n + 2 = 11 * m + 8,

7 * n - 11 * m = 6.

Получили диофантово уравнение с двумя переменными.

Заметим, что:

7 * (-7) - 11 * (-5) = - 49 + 55 = 6, т. е. m = - 7, n = - 5 являются частными решениями уравнения. Следовательно, решение в общем виде записывается так:

m = - 7 - 11 * p,

n = - 5 - 7 * p, где p - целое число.

Тогда имеем:

a = 7 * n + 2 = 7 * (-5 - 11 * p) + 2 = - 77 * p - 35 + 2 =

= - 77 * p - 33 = - 77 * (p + 1) + 77 - 33 =

= 77 * ( - (p + 1)) + 44.

Следовательно, число а при делении на 77 даёт в остатке 44.