Дана функция у = - (3 х-1) ^5/3+20 х 1). исследуйте функцию на монотонность и экстремумы; 2). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале (1; 3].

1. Найдем стационарные точки:

y = - (3x - 1) ^ (5/3) + 20x; y' = - 5/3 * 3 * (3x - 1) ^ (2/3) + 20; y' = - 5 (3x - 1) ^ (2/3) + 20 = - 5 ((3x - 1) ^ (2/3) - 4); - 5 ((3x - 1) ^ (2/3) - 4) = 0; (3x - 1) ^ (2/3) = 4; (3x - 1) ^2 = 4^3; (3x - 1) ^2 = 64; 3x - 1 = ±8; 3x = 1 ± 8; x = (1 ± 8) / 3; 1) x = (1 - 8) / 3 = - 7/3; 2) x = (1 + 8) / 3 = 9/3 = 3.

2. Промежутки монотонности:

1) x ∈ (-∞; - 7/3), y' <0, функция убывает; 2) x ∈ (-7/3; 3), y'> 0, функция возрастает; 3) x ∈ (3; ∞), y' < 0, функция убывает.

3. Экстремумы:

y = - (3x - 1) ^ (5/3) + 20x;

xmin = - 7/3; ymin = - (-8) ^ (5/3) + 20 * (-7/3) = 32 - 140/3 = (96 - 140) / 3 = - 44/3; xmax = 3; ymax = - 8^ (5/3) + 20 * 3 = - 32 + 60 = 28.

4. Наибольшее и наименьшее значения на полуинтервале (1; 3]:

min (y) - не существует; max (y) = ymax = 28.