1. Дана функция. а). Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы. б). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 10].2. Составьте уравнение касательной к графику функции, если тангенс угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс равен 0,25.

1. Дана функция: y = (8x + 1) ^5/4 - 30x. Область определения функции определим из неравенства: 8x + 1≥ 0; x ≥ - 1/8; Dy = [-1/8; ∞].

а). Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем производную функции первого порядка: y' = ((8x + 1) ^5/4 - 30x) ' = 10 (8x + 1) ^1/4 - 30.

Найдем критические точки, решив уравнение y' = 0. 10 (8x + 1) ^1/4 - 30 = 0, (8x + 1) ^1/4 = 3, 8x + 1 = 3⁴, x = 10. Эта точка делит область определения функции на два промежутка: [-1/8; 10] и [ 10; ∞].

На промежутке [-1/8; 10] производная функции отрицательна (y' (9) < 0), функция убывает.

На промежутке [ 10; ∞] производная функции положительна (y' (11) > 0), функция возрастает.

б). На отрезке [0; 10] функция монотонно убывает, поэтому при x = 0 функция принимает максимальное значение y = (8 * 0 + 1) ^5/4 - 30 * 0 = 1, и наименьшее значение при x = 10, функция y = (8 * 10 + 1) ^5/4 - 30 * 10 = - 57.

2. Составим уравнение касательной к графику функции y = 3x^1/3 - 5, если тангенс угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс равен 0,25.

Известна уравнение касательной в точке x₀: f (x) = f (x₀) + f' (x) (x - x₀). Найдем производную функции: f' (x) = (3x^1/3 - 5) ' = 1/x₀^2/3;

По условию: x = x₀; tga = k = f' (x₀); 1/x₀^2/3; = 0,25; x₀^2/3 = 4; x₀ = 8. f (x₀) = 3 * 8^1/3 - 5 = 1.

f (x) = f (x₀) + f' (x) (x - x₀) = 1 + 0,25 (x - 8).

Ответ: Уравнение касательной будет y = 0,25x - 1.