Решите: а) |х^2-2 х|=3-2 х б) |х^2-4 х+3|=2 х-5 в) |2 х-5|=3 х+2 г) |х^2-х|=|2 х-2|

Уравнения с модулем решаются так: если |х| = а, то х = а и х = - а.

Так же |х| = |а|: х = а и х = - а.

а) |х^2 - 2 х| = 3 - 2 х. Получаются два уравнения: (1) х^2 - 2 х = 3 - 2 х и (2) х^2 - 2 х = - (3 - 2 х).

1) х^2 - 2 х = 3 - 2 х.

Переносим (-2 х) в левую часть: х^2 - 2 х + 2 х = 3; х^2 = 3; х = ±√3.

2) х^2 - 2 х = - (3 - 2 х); х^2 - 2 х = - 3 + 2 х.

Переносим все в левую часть: х^2 - 2 х + 3 - 2 х = 0.

Получается квадратное уравнение х^2 - 4 х + 3 = 0.

Решаем его при помощи дискриминанта: D = 16 - 12 = 4 (√D = 2);

х₁ = (4 + 2) / 2 = 3;

х₂ = (4 - 2) / 2 = 1.

б) |х^2 - 4 х + 3| = 2 х - 5. Получается два уравнения: (3) х^2 - 4 х + 3 = 2 х - 5 и (4) х^2 - 4 х + 3 = - (2 х - 5).

3) х^2 - 4 х + 3 = 2 х - 5.

Переносим все в левую часть: х^2 - 4 х + 3 - 2 х + 5 = 0; х^2 - 6 х + 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 36 - 32 = 4 (√D = 2);

х₁ = (6 + 2) / 2 = 4;

х₂ = (6 - 2) / 2 = 2.

4) х^2 - 4 х + 3 = - (2 х - 5).

Переносим все в левую часть: х^2 - 4 х + 3 + 2 х - 5 = 0; х^2 - 2 х - 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 4 + 8 = 12 (√D = √12 = 2√3)

х₁ = (2 + 2√3) / 2 = 1 + √3;

х₂ = 1 - √3.

в) |2 х - 5| = 3 х + 2. Получаются два уравнения: (5) 2 х - 5 = 3 х + 2 и (6) 2 х - 5 = - (3 х + 2).

5) 2 х - 5 = 3 х + 2;

2 х - 3 х = 2 + 5;

-х = 7; х = - 7.

6) 2 х - 5 = - 3 х - 2;

2 х + 3 х = 5 - 2;

5 х = 3;

х = 3/5.

г) |х^2 - х| = |2 х - 2|. Получаются два уравнения: (7) х^2 - х = 2 х - 2 и (8) х^2 - х = - (2 х - 2).

7) х^2 - х = 2 х - 2.

х^2 - х - 2 х + 2 = 0;

х^2 - 3 х + 2 = 0.

D = 9 - 8 = 1 (√D = 1);

х₁ = (3 + 1) / 2 = 2;

х₂ = (3 - 1) / 2 = 1.

8) х^2 - х = - 2 х + 2;

х^2 - х + 2 х - 2 = 0;

х^2 + х - 2 = 0.

D = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

х₁ = (-1 + 3) / 2 = 1;

х₂ = (-1 - 3) / 2 = - 2.