Докажите, что значения многочлена x^4+2x^3-x^2-2x при целых значениях x кратны 24

Представим многочлен x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x в виде произведения сомножителей:

x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x = х * (x^3 + 2x^2 - x - 2) = х * (x^2 (х + 2x) - (x + 2)) = х * (х + 2) * (x^2 - 1) = х * (х + 2) * (x - 1) * (x + 1) = (x - 1) * х * (x + 1) * (х + 2).

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде произведения четырех сомножителей, причем каждый сомножитель больше предыдущего сомножителя на 1. Поскольку число х - целое, то целыми будут и все остальные сомножители. Очевидно, что из четырех последовательных целых чисел как минимум одно из них будет обязательно делится на 3, как минимум одно из них будет обязательно делиться на 4. Также обязательно найдется четное кратное 2 число, отличное от того, которое делится на 4. Следовательно, произведение этих чисел будет делится на 3*4*2 = 24.