Ученик, решая неравенство / x / > 2 получает неравенства x > 2, x < - 2 и делает вывод, что исходное неравенство не имеет решений, так как нет таких чисел, которые больше 2 и меньше - 2. В чем его ошибка?

Ученик, решая неравенство с модулем, находит практически верное решение, но забывает о том, что конкретно в случае решения неравенств с модулем, в составе которого стоит знак "больше", не нужно искать пересечение получившихся множеств решений, а просто их объединить. Это можно легко проверить:

Если x = - 10, то |-10| = 10, 10 > 2.

Если x = 0, то |0| = 0, 0 < 2.

Если x = 10, то |10| = 10, 10 > 2.

Как видим решением данного неравенства будет являться объединение двух множеств, которые указал ученик.