Высота равностороннего треугольника равна 9 см. Найдите длину окружности вписанной в этот треугольник. А) 20 п В) 4,5 п С) 9 п D) 6 п

Пусть дан равносторонний треугольник АВС, высота которого ВК равна 9 см, тогда:

ВК = АС: 2, так как в равностороннем треугольнике совпадают медиана с высотой;

ВК = АВ: 2, так как в равностороннем треугольнике длины всех сторон одинаковые;

АВ² = АК² + ВК² - теорема Пифагора для прямоугольного треугольника АВК (угол К прямой);

(2 ∙ 9) / √3 = 18/√3 (см) - длина стороны АВ, так как АВ² = АК² + (АВ/2) ² или АК² = 3 ∙ АВ²/4; АК = (АВ ∙ √3) / 2; АВ = (2 ∙ АК) / √3.

((18/√3) ∙ √3) / 6 = 3 (см) - длина радиуса r вписанной окружности, так как он определяется по формуле r = (а ∙ √3) / 6;

2 · π · 3 = 6 · π (см) - длина окружности, вписанной в этот треугольник, так как она определяется по формуле L = 2 · π · r.

Ответ: длина окружности, вписанной в данный треугольник, равна D) 6 · π см.